На главную   ::   Содержание



Признаки сходимости положительных числовых рядов

Определение 1.   На последовательности $ \{a_n\}$ построим частичные суммы $ S_n=a_1+\dots+a_n$. Cимвол $ \sum_{n=0}^\infty a_n$, обозначающий предел частичных сумм ( $ \lim_{n\to \infty} S_n$), называется рядом, где $ a_n$ -- общий член ряда. Ряд называется знакоположительным, если все $ a_n>0$.

Замечание 1.   В матанализе доказывается, что знаконеотрицательный ряд сходится $ \Leftrightarrow$ частичные суммы ограничены. Доказательство следует из теоремы Вейерштрасса о том, что ограниченная монотонная последовательность имеет предел.

Лемма 1.   Если $ a_n\leqslant b_n \; \forall n$, то из сходимости $ \sum b_n$ следует сходимость $ \sum a_n$, а из расходимости $ \sum a_n$ следует расходимость $ \sum b_n$.

Доказательство. Рассмотрим частичные суммы рядов (обозначим их $ A_n$ и $ B_n$). Если $ \sum b_n$ сходится, то постедовательность $ \{B_n\}$ ограничена, а раз $ A_n\leqslant B_n$, то $ A_n$ тоже ограничена, т.е. $ \sum a_n$ также cходится. Из этого же неравенства следует утверждение о расходимости. $ \blacksquare$

Лемма 2.   Пусть существует предел

$\displaystyle L=\lim_{n\to\infty}
\frac{a_n}{b_n}.$

$ (1)$ Если $ 0<L<\infty$, то сходимость $ \sum a_n$ равносильна сходимости $ \sum b_n$;
$ (2)$ Если $ L=0$, то из сходимости $ \sum b_n$ следует сходимость $ \sum a_n$;
$ (3)$ Если $ L=\infty$, то из сходимости $ \sum a_n$ следует сходимость $ \sum b_n$.

Доказательство. $ (1)$ $ 0<L<\infty\Rightarrow \exists  p,q:
p<L<q$. Тогда из существования предела следует, что, начиная с какого-то индекса $ p<\frac{a_n}{b_n}<q\Rightarrow p b_n<a_n<q b_n$. Но тогда из сходимости (расходимости) ряда $ \sum b_n$ следует сходимость (расходимость) $ \sum a_n$ (по предыдущей лемме). Ясно, что это верно и в обратную сторону верно, т.к. в этом случае $ \lim\frac{b_n}{a_n}=\frac1{L}\in (0,\infty)$.

$ (2)$ $ L=0$, значит, начиная с какого-то индекса, $ a_n<b_n$, остальное по первому признаку.

$ (3)$ $ L=\infty$ -- случай, аналогичный $ (2)$. $ \blacksquare$

Лемма 3.   Если $ \frac{a_{n+1}}{a_n}\leqslant\frac{b_{n+1}}{b_n}\;\forall  n$, то из сходимости $ \sum b_n$ следует сходимость $ \sum a_n$.

Доказательство. Составим произведения: $ \frac{a_2}{a_1}\cdots \frac{a_n}{a_{n-1}}$ и $ \frac{b_2}{b_1}\cdots
\frac{b_n}{b_{n-1}}$. Они равны после сокращения соответственно $ \frac{a_n}{a_1}$ и $ \frac{b_n}{b_1}$. По условию леммы выполнено $ \frac{a_n}{a_1}\leqslant\frac{b_n}{b_1}$. Тогда $ a_n\leqslant
\frac{a_1}{b_1}b_n$ и утверждение леммы следует из леммы $ 1$. $ \blacksquare$

Теорема 1. (признак Даламбера)   Пусть $ \exists  \lim
\frac{a_{n+1}}{a_n}=L$. Если $ L<1$, то ряд сходится, $ L>1$ -- расходится. Если $ L=1$, то ничего сказать нельзя.

Доказательство. Пусть $ L<1$. Из существования предела следует, что начиная с некоторого номера выполнено $ \frac{a_{n+1}}{a_n}\leqslant L$. Положим $ b_n=L^n$ (геометрическая прогрессия) и воспользуемся леммой $ 3$ для доказательства сходимости. Если $ L>1$, то из $ \frac{a_{n+1}}{a_n}>L$ следует, что общий член ряда не стремится к нулю, что доказывает расходимость. При $ L=1$ ничего сказать нельзя, например, $ a_n=\frac1{n^p}$ (cходится при $ p>1$). $ \blacksquare$

Теорема 2. (признак Коши)   Пусть $ \exists  \lim\sqrt[n]{a_n}=L$. Если $ L<1$, $ \sum a_n$ сходится. Если $ L>1$, то расходится.

Доказательство. Пусть $ L<1$. Найдется $ q:L<q<1$. Тогда, начиная с некоторого индекса, $ \sqrt[n]{a_n}<q\Rightarrow a_n<q^n$, остальное сделает за нас лемма 1. В случае $ L>1$ имеем с некоторого индекса $ \sqrt[n]{a_n}>1\Rightarrow a_n \not\to 0$. Тогда ряд расходится по необходимому признаку сходимости (общий член стремится к нулю). $ \blacksquare$

Теорема 3. (интегральный признак)   Пусть существует положительная монотонно убывающая непрерывная на $ [1,\infty)$ функция такая, что $ a_n=f(n)$. Тогда сходимость $ \sum a_n$ равносильна сходимости $ \int\limits_1^\infty f(x)  dx$ (существованию предела $ \lim_{N\to\infty} \int\limits_1^N f(x)  dx$).

Доказательство. Для любого $ n$ выполнено $ \int\limits_1^n
f(x)  dx\in (S_{n}-a_1,S_{n-1})$ (зажат между прямоугольниками сверху и снизу). Тогда из сходимости ряда следует ограниченность $ S_{n-1}<C$, а значит и сходимость интеграла ( $ \int_1^nf(x) dx<C\;\forall  n$). Обратно, из сходимости интеграла следует ограниченность его ( $ \int_1^nf(x) dx<C\;\forall  n$), а значит и ограниченность $ S_{n-1}$ ( $ S_{n-1}-a_1<C\;\forall 
n$), что равносильно сходимости ряда. $ \blacksquare$



На главную   ::   Содержание