На главную   ::   Содержание



Необходимые и достаточные условия экстремума функции нескольких
(двух) переменных

Рассмотрим функцию $ f: G\to \mathbb{R}$, где $ G\subset \mathbb{R}^n$ -- открытое множество.

Определение 1.   $ x^0\in G$ называется точкой максимума (минимума) функции $ f$, если

$\displaystyle \exists  U(x^0)\subset G: \forall  x\in U(x^0) \quad f(x)\leqslant f(x^0)\quad (f(x)\geqslant f(x^0)).$

Аналогично если выполняется строгое неравенство, точка называется точкой строгого максимума (строгого минимума).

Теорема 1. (необходимое условие экстремума)   Если $ x^0$ -- точка экстремума и существует $ \frac{\partial f}{\partial x_k}$, то $ \frac{\partial f}{\partial x_k}=0$.

Доказательство. Частную производную можно представить как производную функции одной переменной $ \varphi(t)=f(x_1^0,\dots,x_{k-1}^0,t,\dots,x_n^0)$ в точке $ x_k^0$. Для этой функции точка $ x_k^0$ также является точкой экстремума. Тогда, по необходимому условию экстремума функции одной переменной $ \varphi'(x_k^0)=\frac{\partial f}{\partial x_k}=0$. $ \blacksquare$

Определение 2.   $ x^0$ -- стационарная точка функции $ f$, если $ f$ -- дифференцируема в этой точке и $ \Bigl(\frac{\partial f}{\partial x_1},\dots,\frac{\partial f}{\partial x_n}\Bigr)=\mathbf
0$, или $ f$ -- не дифференцируема в этой точке.

Замечание 1.   Квадратичная форма -- многочлен вида $ Q(X)=X^TAX$, $ X\in \mathbb{R}^n$ -- положительно определена, если на положительных переменных она принимает положительные значения. Для квадратичных форм существует критерий Сильвестра: форма положительно определена, если все главные миноры ее матрицы положительны. Форма отрицательно определена, если $ -Q(X)$ положительно определена. Тогда главные миноры меняют знак, начиная с минуса.

Теорема 2. (достаточное условие экстремума)   Если $ f$ дважды дифференцируема в стационарной точке $ x^0$, то $ x^0$ -- точка минимума (максимума), если квадратичная форма $ Q(t)=\sum\sum f_{x_i
x_j}(x^0)t_it_j$ положительно (отрицательно) определена. Если эта форма не определена, то экстремума в этой точке нет. Если она вырождена, то неизвестно, является ли $ x^0$ точкой экстремума.

Доказательство. По формуле Тейлора приращение функции в точке $ x^0$ можно записать в виде $ f(x)-f(x^0)=\sum\sum f_{x_i x_j}
\Delta x_i \Delta x_j+o(\rho^2)\textcircled{=}$, поскольку, по необходимому условию экстремума, частные производные будут равны нулю. Перепишем выражение в виде $ \textcircled{=} \rho^2(\sum\sum
a_{ij} t_i t_j +o(1))$, причем $ o(1)\to 0$ при $ \rho\to 0$. Заметим, что новые переменные $ t_i=\frac{x_i}{\rho}$ изменяются на единичной сфере, т.к. $ \sum t_i^2=1$. Кроме того, квадратичная форма $ \sum\sum
a_{ij}t_it_j$ непрерывна и по теореме Вейерштрасса на сфере принимает наименьшее значение, обозначим его $ m$. Пусть форма положительно определена. Тогда $ m>0$. Теперь благодаря тому, что $ o(1)\to 0$ при $ \rho\to 0$ можно подобрать такое $ \delta$, что при $ \rho<\delta$ выполнено $ \vert o(1)\vert<m/2$, тогда выполнено $ \rho^2(\sum\sum a_{ij} t_it_j+o(1))=f(x)-f(x^0)>0$ в этой окрестности. Что и означает, что $ x^0$ -- точка минимума. Для точки максимума доказательство аналогично. $ \blacksquare$

Замечание 2.   В случае двух переменных матрица квадратичной формы имеет вид $ \begin{pmatrix}
a & b \\
b & c \\
\end{pmatrix}$. Тогда если $ a>0$, то для положительной определенности достаточно $ ac-b^2>0$ -- тогда имеется минимум. Если же $ ac-b^2<0$, то достигается максимум. Если же $ ac-b^2=0$, то ничего сказать нельзя.



На главную   ::   Содержание