На главную   ::   Содержание



Равномерная сходимость функционального ряда и функциональные свойства суммы ряда

Определение 1.   Пусть задана последовательность функций $ f_1(x),f_2(x),\dots$, заданных на произвольном множестве $ X$ со значениями в $ \mathbb{R}$. Будем говорить, что эта последовательность сходится на $ X$, если каждая последовательность вида $ f_1(x_0),
f_2(x_0),\dots \quad (x_0\in x)$ имеет предел в $ \mathbb{R}$. Этот предел, зависящий от точки $ x_0$ обозначается $ f(x_0)$. Мы получаем таким образом функцию $ f(x)=\lim f_n(x)$. Говорят, что последовательность функций $ (f_n)$ сходится к функции $ f$. Последовательность равномерно сходится к предельной функции $ f(x)$ на множестве $ X$, если

$\displaystyle \forall \varepsilon>0\;\exists  N:\quad
\forall  x_0\in X$    при $\displaystyle n>N \quad \vert f(x_0)-f_n(x_0)\vert\leqslant
\varepsilon.$

Теорема 1.   Если $ \forall  n$ верно, что $ \vert f_n(x)\vert\leqslant C$ (ограничены) и последовательность $ f_n$ сходится на $ X$ равномерно, то предельная функция $ f(x)$ также ограничена.

Доказательство. Найдем для заданного $ \varepsilon>0$, например, $ \varepsilon=1$, номер $ N$, чтобы иметь при $ n\geqslant N$ и каждом $ x\in X\quad \vert f_n(x)-f(x)\vert\leqslant \varepsilon=1$. Отсюда при каждом $ x\in X$ получаем $ \vert f(x)\vert\leqslant\vert f(x)-f_N(x)\vert+\vert f_N(x)\vert\leqslant 1+C$ и мы видим, что функция $ f(x)$ ограничена. $ \blacksquare$

Теорема 2.   Если $ \forall  n$ верно, что $ f_n(x)$ непрерывна в точке $ x_0\in X$ и последовательность $ f_n$ сходится на $ X$ равномерно, то предельная функция $ f(x)$ также непрерывна в точке $ x_0$.

Доказательство. Для заданного $ \varepsilon>0$ найдем $ N:\forall  n\geqslant N,\forall  x\in X$ иметь $ \vert f_n(x)-f(x)\vert<\frac{\varepsilon}{3}$. Т. к. $ f_N(x)$ -- непрерывна в точке $ x_0$, то $ \exists \delta>0:\forall  x:\quad
\vert x-x_0\vert<\delta$ выполняется неравенство $ \vert f_N(x)-f_N(x_0)\vert<\frac{\varepsilon}{3}$. Положив $ n=N$, получим, что $ \vert f_N(x_0)-f(x_0)\vert<\frac{\varepsilon}{3}$ и $ \vert f_N(x)-f(x)\vert<\frac{\varepsilon}{3}$. Из последних трех неравенств следует, что $ \vert f(x)-f(x_0)\vert<\varepsilon$. $ \blacksquare$

Теорема 3. (Критерий Коши равномерной сходимости)   Последовательность $ f_n$ сходится на $ X$ равномерно тогда и только тогда, когда

$\displaystyle \forall \varepsilon>0 \exists  N:\forall  n,p\geqslant N\quad
\sup_{x\in X} \vert f_n(x)-f_p(x)\vert\leqslant \varepsilon.$

Определение 2.   Пусть задана последовательность функций $ u_1(x),u_2(x),\dots$. Рядом называется последовательность $ S_1(x),\dots$, где $ S_k=\sum\limits_{i=1}^k u_i(x)$ -- частичная сумма ряда. Предел частичных сумм называется суммой ряда. Если последовательность сходится равномерно на $ X$, то ряд называется равномерно сходящимся.

Замечание 1.   Критерий Коши равномерной сходимости ряда следует из критерия Коши для равномерной сходимости последовательностей и формулируется следующим образом: ряд равномерно сходится на множестве $ X$ тогда и только тогда, когда $ \forall \varepsilon>0  \exists  N:\forall 
n\geqslant N, p>n, x\in X$ выполнено $ \vert u_{n+1}(x)+\dots+u_p(x)\vert\leqslant \varepsilon$.

Теорема 4. (Признак Вейерштрасса)   Если $ \vert u_n(x)\vert\leqslant v_n$ и $ \sum v_n$ сходится, то функциональный ряд сходится равномерно.

Доказательство. Утверждение вытекает из критерия Коши, оценки $ \vert u_{n+1}+\dots+u_p(x)\vert\leq v_{n+1}+\dots+v_p$ и критерия Коши для сходимости числового ряда. $ \blacksquare$

Замечание 2.   Следующие две теоремы непосредственно вытекают из теорем для функциональных последовательностей.

Теорема 5.   Если $ u_n$ ограничено и $ S_n\stackrel{X}{\rightrightarrows}S$, то $ S$ ограничена.

Теорема 6.   Если $ u_n$ непрерывны и $ S_n\stackrel{X}{\rightrightarrows}S$, то $ S$ непрерывна.

Замечание 3.   Для перестановки знаков суммирования и интегрирования на отрезке $ [a,b]$ достаточно равномерной сходимости $ u_n$. Для перестановки производной и знака суммы нужно: $ u_n$ -- гладкие и хотя бы в одной точке $ x_0$, $ \sum u_n(x_0)$ сходится, $ \sum u_n'$ равномерно сходится к некоторой функции $ g(x)$, то $ \sum u_n$ равномерно сходится к $ S(x)$, причем $ S'(x)=\sum u_n'(x)=g(x)$.



На главную   ::   Содержание