На главную   ::   Содержание



Признак Дини разложимости функции в ряд Фурье

Определение 1.   Рядом Фурье периодической функции $ f(x)$ с периодом $ 2l$, определенной на отрезке $ [-l,l]$ называется ряд

$\displaystyle \frac{a_0}{2} +\sum\limits_{n=1}^\infty \left(a_n\cos\frac{n\pi
x}{l}+b_n\sin\frac{n\pi x}{l}\right),$

где

$\displaystyle \begin{array}{c}
\displaystyle a_n=\frac1{l}\int\limits_{-l}^l ...
...\limits_{-l}^l f(x)\sin\frac{n\pi
x}{l}  dx, n=1,2,\dots \\
\end{array}
$

Очевидно, что если $ f$ -- четная, то $ b_n=0$, если нечетная, то $ a_n=0$.

Замечание 1.   Для разложения в ряд Фурье функции, определенной на $ [0,l]$ достаточно доопределить ее на $ [-l,0]$ произвольным способом, например, по четности или нечетности.

Положим $ l=\pi$ и исследуем вопрос сходимости.

Распишем

\begin{displaymath}
\begin{array}{l}
\displaystyle S_n(x)=\frac{a_0}{2} +\sum...
...c1{2})z\bigr)}{2\sin\frac{z}{2}} \biggr) dz.\\
\end{array}
\end{displaymath}

Функция $ D_n(z)=\frac1{2\pi}\frac{\sin\bigl((n+\frac1{2})z\bigr)}{\sin\frac{z}{2}
}$ называется ядром Дирихле. Видно, что $ \int\limits_{-\pi}^\pi
D_n(z)  dz=1$. Используя это равенство, запишем

$\displaystyle S_n(x)-f(x)=\int\limits_{-\pi}^\pi
\biggl(f(z+x)-f(x)\biggr)D_n(z)  dz.$

Таким образом, вопрос о сходимости $ S_n(x)$ к $ f(x)$ сводится к вопросу о стремлении к нулю интеграла в правой части равенства, исследование которого опирается на следующую лемму:

Лемма 1.   Если функция $ \varphi$ интегрируема по Риману на $ [a,b]$, то $ \lim_{p\to\infty}\int\limits_a^b \varphi(x)\sin px 
dx=0$.

Теорема 1. (Признак Дини)   Если $ f$ интегрируема по Риману и при фиксированном $ x$ и некотором $ \delta>0$ интеграл

$\displaystyle \int\limits_{-\delta}^\delta \left\vert\frac{f(x+z)-f(x)}{z}\right\vert 
dz$

существует, то частичные суммы $ S_n(x)$ сходятся к $ f(x)$ в точке $ x$.

Доказательство. Перепишем интеграл

$\displaystyle \int\limits_{-\pi}^\pi
\biggl(f(z+x)-f(x)\biggr)D_n(z)  dz$

в виде

$\displaystyle \frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^\pi
\frac{f(x+z)-f(x)}{z}\frac{z}{2\sin\frac{z}{2}}\sin (n+\frac1{2})z 
dz.$

Если $ \frac{f(x+z)-f(x)}{z}$ интегрируема по $ z$ в пределах $ [-\delta,\delta]$, то она интегрируема и на всем отрезке $ [-\pi,\pi]$, тогда интегрируема и функция $ \frac{f(x+z)-f(x)}{z}\frac{z}{2\sin\frac{z}{2}}$. Тогда по лемме $ 1$ исходный интеграл $ \frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^\pi
\frac{f(x+z)-f(x)}{z}\frac{z}{2\sin\frac{z}{2}}\sin (n+\frac1{2})z 
dz$ стремится к нулю. $ \blacksquare$



На главную   ::   Содержание