На главную   ::   Содержание



Эйлеровы интегралы, гамма-функция, бета-функция

Определение 1.   Бета-функцией Эйлера называется интеграл $ \mathrm
B(p,q)=\int\limits_0^1 x^{p-1}(1-x)^{q-1} dx$.

Определение 2.   Гамма-функцией Эйлера называется интеграл $ \Gamma(\alpha)=\int\limits_0^\infty x^{\alpha-1}e^{-x}  dx$

Свойства $ \mathrm B$ функции:
  1. Область определения $ p,q>0$. Доказательство. Разобъем интеграл на сумму двух интегралов точкой $ 1/2$. Тогда при $ x\in [0,1/2]$ выполнено $ (1-x)^{q-1}\leqslant C$. Но интеграл $ \int_0^{1/2} Cx^{p-1}$ сходится. Аналогично доказывается для второго интеграла. $ \blacksquare$
  2. $ \mathrm B(p,q)=\mathrm B(q,p)$. Доказательство через замену переменных.
  3. Формулы понижения $ \mathrm B(p+1,q)=\frac{p}{p+q}\mathrm
B(p,q)$. Доказательство.

    \begin{displaymath}
\begin{array}{l}
\hspace{0pt} \displaystyle \mathrm B(p+1...
...frac{p}{q}(\mathrm B(p+1,q)-\mathrm B(p,q)). \\
\end{array}
\end{displaymath}

    После выполнения переноса в левую часть и деления на соответствующий множитель получим требуемое равенство. $ \blacksquare$
  4. $ \mathrm B(p,q)=\int\limits_0^\infty \frac{t^{p-1}}{(1+t)^{p+q}} 
dt$ получается заменой $ x=\frac{t}{1+t}$.

Свойства $ \Gamma$ функции:

  1. Область определения $ \alpha>0$. Доказательство. Разобъем интеграл на сумму двух интегралов точкой $ 1$. Тогда при $ x\in [0,1]$ выполнено $ e^{-x}\leqslant e$. Но интеграл $ \int_0^1
e\cdot x^{\alpha-1} dx$ сходится. На $ [1,\infty)$ имеем $ x^{\alpha-1}e^{-x}=x^{\alpha-1}e^{-x/2}e^{-x/2}\leqslant
Ce^{-x/2}$. А $ \int\limits_1^\infty Ce^{-x/2}  dx$ сходится. $ \blacksquare$
  2. $ \Gamma^{(n)}(\alpha)=\int\limits_0^\infty x^{\alpha-1}(\ln(x))^n e^{-x}  dx$. Доказательство. Воспользуемся теоремой о возможности дифференцирования под знаком несобственного интеграла: если есть функция

    $\displaystyle I(s)=\int\limits_a^\infty y(x,s)  dx, s\in G,$

    то если интеграл сходится равномерно в $ G$, то $ I'=\int y'_s  dx$. То есть нам нужно доказать равномерную сходимость $ \Gamma(\alpha)$ по $ \alpha$. Для этого возьмем на $ (0,1]$ и $ [1,\infty)$ мажорантные интегралы $ \int\limits_0^1 C x^{\alpha-1}  dx$ и $ \int\limits_1^\infty Ce^{-x/2}  dx$. Они сходятся, значит исходный сходится равномерно. Тогда можно дифференцировать. Дифференцируя по $ \alpha$ подинтегральное выражение, получим требуемое. $ \blacksquare$
  3. Формулы понижения $ \Gamma(\alpha+1)=\alpha
\Gamma(\alpha)$. Доказательство.

    $\displaystyle \Gamma(\alpha+1)=\int
t^\alpha e^{-t}  dt=-\left.t^\alpha e^{-t...
...ht\vert _0^\infty +\alpha
\int t^{\alpha-1}e^{-t}  dt=\alpha
\Gamma(\alpha).$

    $ \blacksquare$
  4. $ \Gamma(\alpha)\Gamma(1-\alpha)=\frac{\pi}{\sin\pi\alpha}$.
  5. $ \Gamma(1)=1$, $ \Gamma(n+1)=n!$, $ \Gamma(\frac1{2})=\sqrt\pi$, $ \Gamma(n+\frac1{2})=(n-1)!\sqrt\pi$. Доказательство.Первые два равенства доказываются непосредственно подсчетом интегралов и применением формулы понижения, последнее через формулу понижения. Третье равенство -- частный случай свойства $ 4$ при $ \alpha=\frac1{2}$. $ \blacksquare$

Отметим связь между Гамма- и Бетта-функциями (без доказательства):

$\displaystyle \mathrm B(p,q)=\frac{\Gamma(p)\Gamma(q)}{\Gamma(p+q)}.$



На главную   ::   Содержание