На главную   ::   Содержание



Кривизна и кручение пространственной кривой. Сопровождающий репер и формулы Френе

Пусть кривая задана функцией $ r(t)$ из отрезка в $ \mathbb{R}^3$. Пусть кривая достаточно гладкая.

Определение 1.   Касательным вектором называется вектор $ r'$. Бинормаль -- векторное произведение $ [r',r'']=\left(\begin{vmatrix}
y' & z' \\
y'' & z'' \\
\end{vmatrix},-\...
...{vmatrix} ,\begin{vmatrix}
x' & y' \\
x'' & y'' \\
\end{vmatrix} \right)$. Главная нормаль -- векторное произведение $ [[r',r''],r']$ касательной и бинормали.

Определение 2.   Соприкасающаяся плоскость -- плоскость касательной и главной нормали. Нормальная плоскость -- плоскость главной нормали и бинормали. Спрямляющая плоскость -- плоскость бинормали и касательной.

Определение 3.   Сопровождающий трехгранник -- набор из трех прямых и трех плоскостей из определений выше.

Замечание 1.   По вектору и точке можно построить прямую так: $ X,Y,Z$ -- точка на прямой, $ x_0,y_0,z_0$ -- направляющий вектор, тогда уравнение прямой будет $ \frac{X-x}{x_0}=\frac{Y-y}{y_0}=\frac{Z-z}{z_0}$.

Замечание 2.   По двум векторам и точке можно построить уравнение плоскости в виде определителя. Пусть $ X,Y,Z$ -- точка, $ x_1,y_1,z_1$ и $ x_2,y_2,z_2$ -- вектора плоскости. Тогда уравнение плоскости выглядит так:

$\displaystyle \begin{vmatrix}
X-x & Y-y & Z-z \\
x_1 & y_1 & z_1 \\
x_2 & y_2 & z_2 \\
\end{vmatrix}
$

Введем вектора $ t=\frac{r'}{\vert r'\vert}, b=\frac{[r',r'']}{\vert[r',r'']\vert},
n=[b,t]$. Введем натуральную параметризацию -- по длине дуги. $ r=r(s)$, $ s$ -- длина кривой от начала. Тогда в натуральной параметризации вектора выглядят так: $ t=\dot{r},
n=\frac{\ddot{r}}{\vert\ddot{r}\vert}, b=[t,n]$.

Рассмотрим $ \lim_{\Delta s\to 0}\frac{\Delta\varphi}{\delta s}=k$. Это -- скорость вращения вектор-функции (скорость изменения ее угла). Можно показать, что $ k=\vert\dot t\vert=\vert\ddot r\vert$.

Замечание 3.   Можно показать, что если $ a(s)$ -- вектор, имеющий постоянную длину, то $ \dot a$ перпендикулярен $ a$. Этот факт используется и раньше, когда говорится, что $ \dot r$ перпендикулярен $ \ddot r$, и что $ \dot n$ перпендикулярен $ n$. А доказывается это просто: $ \vert a(s)\vert=\const \Rightarrow (a(s),a(s))=\const \Rightarrow
(\dot a,a)+(a,\dot a)=0\Rightarrow (\dot a,a)=0$.

Докажем формулы Френе:

\begin{displaymath}
\begin{cases}
\dot t=\ddot r=kn\\
\dot n=\varkappa b-kt\\
\dot b=-\varkappa n
\end{cases}
\end{displaymath}

Первое равенство очевидно: $ k=\vert\ddot r\vert\Rightarrow k n=\ddot r=\dot
t$, поскольку $ t=\dot r$. Далее, $ b=[t,n]\Rightarrow \dot b=[\dot
t,n]+[t,\dot n]=[t,\dot n]$, поскольку $ \dot t\upuparrows n$, значит, их векторное произведение равно нулю. Далее замечаем, что вектор $ \dot b$ перпендикулярен касательному вектору и вектору, перпендикулярному к главной нормали, поэтому он сонаправлен с главной нормалью. Обозначая коэффициент пропорциональности $ -\varkappa$, получим $ \dot b=-\varkappa n$. Теперь рассмотрим $ n=[b,t]\Rightarrow \dot n=[b,\dot t]+[\dot b,t]=[b,kn]+[-\varkappa
n,t]=\varkappa b-kt$.

Замечание 4.   Кривизной называется коэффициент $ k$. Кривая является прямой тогда и только тогда, когда кривизна равна нулю. Кручением называется коэффициент $ \varkappa$. Кривая является плоской тогда и только тогда, когда кручение равно нулю.

Замечание 5.   Следующие формулы помогают на практике вычислять кривизну и кручение. $ k=\frac{\vert[r',r'']\vert}{\vert r'\vert^3}=\vert\ddot
r\vert,\varkappa=\fra...
... r,\dddot{r}\right>}{k^2}=\frac{\left< r',r'',r''' \right>}{\vert[r',r'']\vert}$



На главную   ::   Содержание