На главную   ::   Содержание



Общее решение ЛДУ n-го порядка с постоянными коэффициентами

Однородное уравнение.

Определение 1.   Уравнение вида

$\displaystyle x^{(n)}(t)+a_{n-1}(t)x^{(n-1)}(t)+\ldots+a_0(t)x(t)=0,
\eqno(\ast)
$

($ a_i(t)$ непрерывны в интервале, где рассматривается уравнение) называется однородным линейным дифференциальным уравнением $ n$-го порядка.

Определение 2.   Фундаментальной системой решений уравнения $ (\ast)$ называется $ n$ любых ЛНЗ решений этого уравнения.

Фундаментальных систем решений бесконечно много. В курсе ДУ доказываются следующие теоремы.

Теорема 1.   Линейное однородное уравнение имеет фундаментальную систему решений.

Теорема 2.   Если $ x_1(t), \ldots, x_n(t)$ -- фундаментальная система решений, то любое решение $ x(t)$ представимо в виде

$\displaystyle x(t)=\sum_{i=1}^{n}C_i\cdot x_i(t),
$

где $ C_1, \ldots, C_n$ -- некоторые постоянные.

Пусть все $ a_i$ -- константы. Тогда уравнение будет с постоянными коэффициентами. Задача о нахождении фундаментальной системы решений для уравнения

$\displaystyle x^{(n)}(t)+a_{n-1}x^{(n-1)}(t)+\ldots+a_0x(t)=0
$

cводится к алгебраической задаче нахождения корней характеристического уравнения

$\displaystyle M(\lambda)=\lambda^n+a_{n-1}\lambda^{n-1}+\ldots+a_0=0
$

Без доказательства примем утверждение следующей теоремы.

Теорема 3.   Пусть $ \lambda_1, \ldots, \lambda_l$ -- корни характеристического уравнения кратностей $ m_1, \ldots, m_l$ соответственно ( $ m_1+\ldots+m_l=n$). Тогда однородное линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами имеет фундаментальную систему решений

$\displaystyle e^{\lambda_kt}, te^{\lambda_kt}, \ldots, t^{m_k-1}e^{\lambda_kt}, \quad k=\overline{1,l}
$

Таким образом, если обозначить

$\displaystyle R_k(t)=\sum_{j=0}^{m_k-1}\hat c_j t^j\quad
k=\overline{1,l},
$

то любое решение однородного линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами можно записать в виде суммы квазиполиномов:

$\displaystyle x(t)=\sum_{k=1}^{l}R_k(t)\cdot e^{\lambda_kt}.
$

Неоднородное уравнение.

Определение 3.   Уравнение вида

$\displaystyle \mathcal L[x]=x^{(n)}(t)+a_{n-1}(t)x^{(n-1)}(t)+\ldots+a_0(t)x(t)=q(t) \eqno(\ast\ast)
$

($ a_i(t)$ непрерывны в интервале, где рассматривается уравнение) называется неоднородным линейным дифференциальным уравнением $ n$-го порядка.

О виде решения уравнения $ (\ast\ast)$ делается вывод в следующей теореме.

Теорема 4.   Пусть $ x_$одн$ (t)$ -- общее решение однородного уравнения $ (\ast)$, а $ \overline{x}(t)$ -- любое (частное) решение неоднородного решения $ (\ast\ast)$, тогда общее решение

$\displaystyle x_$неодн$\displaystyle (t)=x_$одн$\displaystyle (t)+\overline{x}(t)
$

Доказательство. Рассмотрим разность

$\displaystyle x_$неодн$\displaystyle (t)-\overline{x}(t).
$

Подставив это выражение в $ (\ast)$ убедимся, что оно удовлетворяет однородному уравнению, откуда сразу следует, что можно записать его в виде

$\displaystyle x_$неодн$\displaystyle (t)-\overline{x}(t)=\sum_{i=1}^{n}C_i\cdot
x_i(t),
$

где $ x_1(t), \ldots, x_n(t)$ -- фундаментальная система решений $ (\ast)$ и $ C_1, \ldots, C_n$ -- некоторые постоянные. Отсюда и следует утверждение теоремы. $ \blacksquare$

Ответим на вопрос о поиске частного решения неоднородного уравнения.

Теорема 5.   Пусть в $ (\ast\ast)$ $ q(t)=Q(t)e^{\lambda t}$, где $ Q(t)$ -- полином степени $ s$. Пусть $ \lambda$ не совпадает ни с одним корнем $ \lambda_k$ характеристического уравнения (нерезонансный случай). Тогда существует частное решение неоднородного уравнения, имеющее вид

$\displaystyle \overline{x}(t)=P(t)e^{\lambda t},
$

где $ P(t)$ -- многочлен степени $ s$.

Если $ \lambda$ совпадает с корнем характеристического уравнения $ \lambda_k$ кратности $ m_k$ (резонансный случай), то существует частное решение неоднородного уравнения, имеющее вид

$\displaystyle \overline{x}(t)=T(t)t^{m_k}e^{\lambda t},\eqno (\checkmark)
$

где $ T(t)$ -- многочлен степени $ s$.

Доказательство. Докажем резонанстный случай, так как случай нерезонансный следует из $ (\checkmark)$ если положить $ m_k=0$.

Используем метод неопределенных коэффициентов. Положим, полином $ T$ имеет вид

$\displaystyle T(t)=b_st^s+T_1(t),\eqno (\checkmark\checkmark)
$

а полином $ S$ имеет вид

$\displaystyle S(t)=c_st^s+S_1(t)
$

Тогда, подставив $ (\checkmark)$ в $ (\ast\ast)$, используя $ (\checkmark\checkmark)$, получим

$\displaystyle \mathcal L[b_st^{s+m_k}e^{\lambda t}]+\mathcal L[t^{m_k}T_1(t)e^{\lambda
t}]=e^{\lambda t}c_sx^s+e^{\lambda t} S_1(t)\eqno (\Box)
$

Распишем первое слагаемое слева, раскрывая оператор $ \mathcal L$. Вспомним обозначение характеристического полинома $ M(\lambda)$. Учитываем, что $ M(\lambda)=M'(\lambda)=\ldots=M^{m_k-1}(\lambda)=0$.

$\displaystyle \mathcal L[b_st^{s+m_k}e^{\lambda t}]=b_se^{\lambda
t}\left\{\f...
...+\frac{M^{(m_k+1)}(\lambda)(s+m_k)\cdots(s)}{(m_k+1)!}x^{s-1}+\ldots\right\}
$

Заметим, что в $ \{\}$ первое слагаемое имеет степень $ s$, а прочие -- более низкую. Подставим это выражение в $ (\Box)$ и приравняем старшие члены, сократив на $ e^{\lambda t}x^s$:

$\displaystyle b_sM^{(m_k)}(\lambda)\frac{(s+m_k)\cdots(s+1)}{m_k!}=c_s
$

Отсюда мы найдем $ b_s$, так как $ M^{(m_k)}(\lambda)\neq0$. После чего запишем $ (\Box)$ в виде

$\displaystyle \mathcal L[t^{m_k}T_1(t)e^{\lambda
t}]=e^{\lambda t} \widetilde{S}_1(t)
$

где $ \widetilde{S}_1(t)$ -- многочлен степени не выше $ s-1$, полученный в результате приведения оставшихся слагаемых в $ (\Box)$

Степени $ T_1$ и $ \widetilde{S}_1$ по крайней мере на единицу ниже $ T$ и $ S_1$, аналогично предыдущему случаю, определяем старший коэффициент $ T_1$. Продолжая процесс, определим все коэффициенты $ T(t)$. $ \blacksquare$



На главную   ::   Содержание