На главную   ::   Содержание



Формула Коши для линейной неоднородной системы дифференциальных уравнений

Определение 1.   Линейной неоднородной системой ДУ называется система

$\displaystyle \dot x(t)=A(t)x(t)+f(t)\quad t\in I=(t_1,t_2)
$

$\displaystyle A(t)=\begin{pmatrix}
a_{11}(t) & \cdots & a_{1n}(t) \\
\vdot...
... x(t)=\begin{pmatrix}
x_1(t) \\
\vdots \\
x_n(t) \\
\end{pmatrix}
$

Считаем, что все компоненты непрерывны на $ I$.

Определение 2.   Фундаментальной системой решений однородной системы ($ f\equiv 0$) называется $ n$ любых ЛНЗ решений этого уравнения. Если $ x^1(t), \ldots,
x^n(t)$ фундаментальная система решений, то матрица $ \Phi(t)=\left(x^1(t), \ldots,
x^n(t)\right)$ называется фундаментальной матрицей системы.

Фундаментальная матрица удовлетворяет уравнению $ \dot \Phi=A\Phi$. Общее решение однородной системы можно записать как $ x(t)=\Phi(t)C$, где $ C=(C_1, \ldots, C_n)^T$ -- некоторый постоянный вектор. Напомним, что общий вид решения однородной системы с постоянными коэффициентами есть

$\displaystyle x(t)=\sum_{k=1}^{l}P_k(t)e^{\lambda_k t},
$

где $ \lambda_1, \ldots, \lambda_l$ -- собственные числа матрицы $ A$ кратности $ m_1, \ldots, m_l$ соответственно. $ P_k(t)$ -- векторные квазиполиномы степени не больше $ m_k-1$.

Так же, как в случае линейного уравнения можно показать, что

$\displaystyle x(t)=x_$неодн$\displaystyle (t)=x_$одн$\displaystyle (t)+\overline{x}(t)
$

Частное решение неоднородной системы $ \overline{x}(t)$ будем искать в виде $ \overline{x}(t)=\Phi(t)C(t)$ (метод вариаций произвольной постоянной). Подставив в неоднородную систему, получим:

$\displaystyle \underbrace{\dot \Phi}_{A\Phi} C+\Phi \dot C=A\Phi C+f
\Rightarrow \Phi \dot C = f\Rightarrow \dot C=\Phi^{-1}f.
$

Откуда:

$\displaystyle C(t)=\int\limits_{t_0}^{t}\Phi^{-1}(\tau)f(\tau) d\tau\quad (t\in
I).
$

Константу не учитываем, так как мы ищем любое решение. Подставим $ C(t)$ в выражение для $ \overline{x}$:

$\displaystyle \overline{x}(t)=\Phi(t)\int\limits_{t_0}^{t}\Phi^{-1}(\tau)f(\tau) d\tau
$

Тогда

$\displaystyle x(t)=\Phi(t)C+\Phi(t)\int\limits_{t_0}^{t}\Phi^{-1}(\tau)f(\tau) d\tau
$

Обозначим $ x(t_0)=x^0$. Подставим $ t_0$ в выражение для $ x(t)$:

$\displaystyle x(t_0)=\Phi(t_0)C,
$

cледовательно, $ C=\Phi^{-1}(t_0)x^0$.

Обозначим $ K(t,s)=\Phi(t)\Phi^{-1}(s)$ -- матрица от двух переменных. Тогда общее решение запишется так:

$\displaystyle x(t)=K(t,t_0)x^0+\int\limits_{t_0}^{t}K(t,\tau)f(\tau) d\tau
$

Судя по введенной матрице $ K$, это формула Коши. Если фундаментальная матрица нормирована в $ t_0$, то

$\displaystyle x(t)=\Phi(t)x^0+\Phi(t)\int\limits_{t_0}^{t}\Phi^{-1}(\tau)f(\tau) d\tau
$

Если матрица $ A$ постоянна, то $ \Phi(t)=e^{A(t-t_0)}$ и $ \Phi^{-1}(\tau)=e^{A(t_0-\tau)}$. Поэтому

$\displaystyle x(t)=e^{A(t-t_0)}x^0+\int\limits_{t_0}^{t}e^{A(t-\tau)}f(\tau) d\tau
$



На главную   ::   Содержание