На главную   ::   Содержание



Устойчивость линейных однородных систем ОДУ с постоянной матрицей

Рассмотрим систему

$\displaystyle \dot x = f(t, x)\quad t\geqslant0,\; \Vert x\Vert<H
$

Считаем, что $ f$ удовлетворяет условиям существования и единственности решения задачи Коши. Нас интересует устойчивость нулевого движения $ f(t,0)\equiv0$.

Определение 1.   Нулевое решение $ x\equiv0$ называется устойчивым по Ляпунову, если
  1. При достаточно малых начальных данных решение продолжимо на $ [0,+\infty)$;
  2. $ \forall \varepsilon>0\; \exists 
\delta:\;\Vert x_0\Vert<\delta\;\Rightarrow\;\bigl\Vert x(t,x_0)\bigr\Vert<\varepsilon$.

Это условие непрерывности решения по начальным данным равномерно по $ t$.

Если мы достаточно точно выберем начальные данные (близкие к 0), то траектория движения будет сколь угодно близка к 0 $ \forall t\geqslant0$.

Определение 2.   Нулевое решение асимптотически устойчиво, если
  1. оно устойчиво;
  2. $ \exists  \delta:\;\Vert x_0\Vert<\delta \Rightarrow \lim_{t \to
\infty}\Vert x\Vert=0$.

То есть дополнительно траектории с течением времени стягиваются к 0. Асимптотическая устойчивость более важна.

Рассмотрим

$\displaystyle \dot x = Ax\quad A_{n\times n}$ -- $\displaystyle \const
$

$\displaystyle x(t,x_0)=e^{At}\cdot x_0
$

Известна структура матрицы, ее элементами являются квазиполиномы.

$\displaystyle x(t)=\sum_{i=1}^{s}p_i(t)e^{\lambda_i t}
$

$ \lambda_1,\ldots,\lambda_s$ -- собственные числа $ A$, $ p_i(t)$ -- векторные полиномы.

Компоненты имеют степени не выше, чем кратность корня минус $ 1$. Среди $ \lambda_i$ могут быть комплексные, тогда с учетом формулы Эйлера могут быть $ \sin$ и $ \cos$.

Когда $ \bigl\Vert x(t)\bigr\Vert\rightarrow0$? Полином может остановить только экспонента. Поэтому

$\displaystyle \Real \lambda_i<0\;\Rightarrow\;$   асимптотическая устойчивость.$\displaystyle $



На главную   ::   Содержание