На главную   ::   Содержание



Неравенства Гельдера и Минковского. Пространство $ L^p$

Определение 1.   Класс функций, интегрируемых по Лебегу со степенью $ p$, обозначается $ L_p[0,1]$ ( $ 1\leqslant p<\infty$) включает в себя функции $ x(t)$ такие, что $ \int\limits_0^1 \vert x(t)\vert^p  dt<\infty$. Если $ p=1$, то обозначают $ L[0,1]$. Поэтому полагают $ 1<p<\infty$.

Замечание 1.   Покажем, что если $ x\in L_p[0,1]$ и $ y\in L_p[0,1]$, то $ (x+y)\in L_p[0,1]$. Для этого докажем $ \vert a+b\vert^p\leqslant
2^p(\vert a\vert^p + \vert b\vert^p)$. Полагая $ \vert a\vert\geqslant \vert b\vert$ для определенности, имеем $ \vert a+b\vert\leqslant \vert a\vert+\vert b\vert\leqslant 2\vert a\vert$, откуда $ \vert a+b\vert^p\leqslant 2^p\vert a\vert^p \leqslant 2^p (\vert a\vert^p+\vert b\vert^p)$. Тогда можно получить аналогичное неравенство и для значений функций: $ \vert x(t)+y(t)\vert^p\leqslant 2^p(\vert x(t)\vert^p+\vert y(t)\vert^p)$. Рассматривая интегралы левой и правой частей неравенства, получим сходимость интеграла левой части, что доказывает требуемое.

Лемма 1.   Для любых $ p,q>1:  \frac1{p}+\frac1{q}=1$ выполнено $ \xi\eta\leqslant\frac{\xi^p}{p}+\frac{\eta^q}{q}$

Доказательство. Положим $ \xi<\eta$. Рассмотрим график функции $ \tau=t^\alpha$, отметим на оси $ t$ точку $ \xi$, а на оси $ \tau$ точку $ \eta$. Рассматривая соотношение площадей, можем заключить $ \xi\eta\leqslant
S_1+S_2$. Эти же площади легко вычислить как площади под графиком функции, т.е. с помощью интегралов. Соответствующие выражения:

$\displaystyle S_1=\frac{\xi^{\alpha+1}}{\alpha+1},\quad
S_2=\frac{\eta^{\frac1{\alpha}+1}}{\frac1{\alpha}+1}.$

Обозначая $ \alpha+1=p,\;\frac1{\alpha}+1=q$, получим требуемое. $ \blacksquare$

Определение 2.   Числа $ p,q$ большие $ 1$ такие, что $ \frac1{p}+\frac1{q}=1$ будем называть сопряженными показателями.

Предложение 1. (Неравенство Гельдера)   Пусть $ x(t)\in L_p[0,1],y(t)\in
L_q[0,1]$, где $ p,q$ -- сопряженные показатели. Тогда

$\displaystyle \int\limits_0^1 \vert x(t)y(t)\vert  dt\leqslant \left[\int\limi...
...\right]^\frac1{p}\left[\int\limits_0^1 \vert y(t)\vert^q 
dt\right]^\frac1{q}$

Доказательство. Положим $ \xi=\frac{\vert x(t)\vert}{\left[\int\limits_0^1 \vert x(t)\vert^p 
dt\right...
...vert y(t)\vert}{\left[\int\limits_0^1
\vert y(t)\vert^q  dt\right]^\frac1{q}}$. По лемме получим:

$\displaystyle \frac{\vert x(t)y(t)\vert}{\left[\int\limits_0^1 \vert x(t)\vert^...
...dt}+\frac1{q}\frac{\vert y(t)\vert^q}{\int\limits_0^1 \vert y(t)\vert^q  dt}
$

Интегрируя полученное неравенство и вспоминая соотношение для сопряженных показателей, получим требуемое неравенство. $ \blacksquare$

Замечание 2.   При $ p=q=2$ получается неравенство Буняковского.

Лемма 2.   Пусть $ z\in L_p[0,1]$. Тогда $ \vert z\vert^{p-1}\in L_q[0,1]$.

Доказательство. Рассмотрим $ \int\limits_0^1 \vert z\vert^{(p-1)q} 
dt$. Учитывая, что $ q=\frac{p}{p-1}$, получим, что интеграл равен $ \int\limits_0^1 \vert z\vert^p  dt<\infty$, тогда по определению $ \vert z\vert^{p-1}\in L_q[0,1]$. $ \blacksquare$

Предложение 2. (Неравенство Минковского)   Пусть $ x,y\in L_p[0,1]$, тогда

$\displaystyle \left[\int\limits_0^1 \vert x(t)+y(t)\vert^p 
dt\right]^\frac1{...
...right]^\frac1{p}+\left[\int\limits_0^1 \vert y(t)\vert^p 
dt\right]^\frac1{p}$

Доказательство. Обозначим $ I\stackrel{def}{=}
\int\limits_0^1 \vert x(t)+y(t)\vert^p  dt$. Рассмотрим

\begin{displaymath}
\begin{array}{l}
\displaystyle I=\int\limits_0^1 \vert x(...
...y(t)\vert^p 
dt\right]^\frac1{p} \right\}. \\
\end{array}
\end{displaymath}

Последнее неравенство получено применением леммы (получим, что $ \vert x(t)+y(t)\vert^{p-1}\in L_q[0,1]$) и неравенства Гельдера. Заметим, что справа стоит выражение

$\displaystyle I^\frac1{q}\left\{\left[\int\limits_0^1 \vert x(t)\vert^p 
dt\r...
...rac1{p}+\left[\int\limits_0^1 \vert y(t)\vert^p 
dt\right]^\frac1{p} \right\}$

. Итак, сравнивая левую и правую часть выкладок, получим

$\displaystyle I\leqslant
I^\frac1{q}\left\{\left[\int\limits_0^1 \vert x(t)\ve...
...ac1{p}+\left[\int\limits_0^1 \vert y(t)\vert^p 
dt\right]^\frac1{p} \right\}.$

Поделив на $ I^\frac1{q}$ и замечая, что $ 1-\frac1{q}=\frac1{p}$, получим требуемое. $ \blacksquare$

Определение 3.   Можно определить метрическое пространство $ L_p$ при помощи следующей метрики: $ \rho([x],[y])=\left(\int\limits_0^1
\vert x-y\vert^p\right)^\frac1{p}$, где $ [x]$ -- класс функций, почти всюду равных функции $ x(t)$, которая называется представителем этого класса. Также можно определить линейное нормированное пространство $ L_p[0,1]$ ( $ 1\leqslant p<\infty$), где $ \vert\vert x\vert\vert=\left(\int\limits_0^1\vert x(t)\vert^p\right)^\frac1{p}$.



На главную   ::   Содержание