На главную   ::   Содержание



Теорема о числе элементов базиса в конечномерном линейном пространстве

Определение 1.   Непустое множество $ \mathrm V$ называется линейным пространством над числовым полем $ \mathcal K$, если
  1. На его элементах определена бинарная алгебраическая операция сложения:

    $\displaystyle \forall  a,b\in V \; \exists  c=a+b:  c\in V$

  2. На его элементах определена унарная алгебраическая операция умножения на число, т.е.

    $\displaystyle \alpha a=c\in V\quad\forall  a\in V\; \forall   \alpha\in \mathcal K$

  3. Операции сложения и умножения на число подчиняются следующим аксиомам:
    $ A_1$
    (Коммутативность сложения) $ a+b=b+a\;\forall   a,b\in V$;
    $ A_2$
    (Ассоциативность сложения) $ (a+b)+c=a+(b+c)\;\forall  a,b,c\in V$;
    $ A_3$
    (Наличие нуля) $ \exists   \mathbf 0 \in V: a+\mathbf 0=a\;\forall   a\in V$;
    $ A_4$
    (Наличие противоположного элемента) $ \forall   a\in V\;\exists  b\in V:  a+b=\mathbf 0$;
    $ A_5$
    $ \alpha(\beta a)=(\alpha\beta)a=\beta(\alpha a)\;\forall   \alpha,\beta\in \mathcal K\;\forall   a\in V$;
    $ A_6$
    $ \alpha(a+b)=\alpha a+\alpha b \; \forall  \alpha\in\mathcal K\;\forall   a,b\in V$;
    $ A_7$
    $ (\alpha+\beta)a=\alpha a+\beta a\;\forall   \alpha,\beta\in \mathcal K\;\forall   a\in
V$;
    $ A_8$
    $ \mathbf 1 a=a,\;\forall  a\in V$, где $ \mathbf 1$ -- единица поля $ \mathcal K$.

Определение 2.   Вектора $ v_1,\dots, v_n\in V$ называются линейно зависимыми (ЛЗ), если существует нетривиальная линейная комбинация $ \alpha_1v_1+\dots+\alpha_nv_n$, равная нулю. В противном случае вектора называются линейно независимыми (ЛНЗ).

Определение 3.   Система векторов пространства называется системой образующих, если любой вектор пространства можно выразить в виде линейной комбинации этой системы.

Определение 4.   Базисом линейного пространства называется линейно независимая система образующих.

Определение 5.   Размерностью пространства называется количество векторов базиса.

Теорема 1. (О числе элементов базиса конечномерного пространства)   все базисы конечномерного линейного пространства состоят из одного и того же количества векторов.

Доказательство. Рассмотрим конечномерное пространство $ V,
\mathcal K$. Возьмем базисы $ (a_1,\dots, a_m)$, $ (b_1,\dots, b_n)$. Нужно доказать, что $ n=m$.

Докажем, что $ m\leqslant n$. Пусть $ m>n$. Рассмотрим новую систему векторов $ (a_1,b_1,\dots,b_n)$. Эта система ЛЗ (т. к. $ (b_1,\dots, b_n)$ -- система образующих и вектор $ a_1$ выражается через них).

Рассмотрим нетривиальную линейную комбинацию векторов $ \alpha_1
a_1+\beta_1b_1+\dots+\beta_nb_n=0$. $ \alpha_1\neq 0$, т. к. иначе $ \beta_1=\ldots=\beta_n=0$ и комбинация тривиальна. Среди $ \beta_k$ есть ненулевой т. к. иначе $ \alpha_1=0$. Для определенности $ \beta_1\neq 0$. Тогда $ b_1$ выражается через остальные векторы. Удалим его. Система осталась системой образующих. Добавим $ a_2$. Составим линейную комбинацию $ \alpha_2 a_2+\alpha_1
a_1+\beta_2b_2+\dots+\beta_nb_n=0$. Аналогично, по крайней мере один из коэффициентов $ \alpha_i$ не равен нулю, и один из $ \beta_k$ не равен нулю (иначе $ \alpha_1a_1+\alpha_2a_2=0$, а они линейно независимы, тогда все $ \alpha_i$ -- нули). Удалим $ b_2$. И так далее. Таким образом, заменим исходную систему системой $ (a_n,\dots,a_1)$, причем это -- система образующих. Тогда $ a_{n+1}$ выражается через вектора этой системы. Но $ (a_1,\dots, a_m)$ -- базис. Противоречие с тем, что $ m>n$. Тогда $ m\leqslant n$. Аналогично, можно показать, что $ n\geqslant m$. Откуда, $ m=n$, что и требовалось. $ \blacksquare$

Определение 6.   Размерностью пространства называется количество векторов базиса.



На главную   ::   Содержание