На главную   ::   Содержание



Эквивалентность ограниченности и непрерывности линейного оператора в нормированном пространстве. Норма оператора. Полнота пространства линейных ограниченных операторов

Пусть $ X,Y$ -- линейные нормированные пространства над полем $ \mathbb{K}$.

Определение 1.   Оператор $ A:  X\to Y$ аддитивен, если $ A(x+y)=A(x)+A(y)\quad\forall  x,y\in X$; однороден, если $ A(\lambda x)=\lambda A(x)\quad\forall  \lambda\in\mathbb{K}, \forall  x\in X$. Если выполнены оба эти свойства, то оператор называется линейным.

Предложение 1.   $ A$ -- аддитивен, тогда $ A(\theta)=\theta$ ($ \theta$ -- нуль соответствующего пространства, $ X$ или $ Y$); $ A(-x)=-A(x)$.

Определение 2.   $ A$ непрерывен в $ x_0\in X$, если $ \forall  x_n\to
x_0$ по норме пространства $ X$ выполнено $ A(x_n)\to A(x_0)$. Если есть непрерывность в каждой точке, говорят о непрерывности на $ X$.

Определение 3.   Линейный оператор, непрерывный на $ X$ называется линейным непрерывным оператором.

Определение 4.   Линейный оператор $ A:  X\to Y$ называется ограниченным, если для некоторого $ M>0$ выполнено $ \vert\vert Ax\vert\vert _Y\leqslant
M\vert\vert x\vert\vert _X\quad\forall  x\in X$.

Теорема 1.   $ A:  X\to Y$ -- линейный оператор. Тогда $ A$ непрерывен $ \Leftrightarrow$ ограничен.

Доказательство. $ \Leftarrow\hspace{-5pt}\vert$ $ A$ -- линейный ограниченный оператор. Рассмотрим точку $ x_0\in X,
\{x_n\}\in X$, сходящуюся к $ x_0$. Тогда из линейности и ограниченности следует:

$\displaystyle \vert\vert Ax_n-Ax_0\vert\vert=\vert\vert A(x_n-x_0)\vert\vert\leqslant
M\vert\vert x_n-x_0\vert\vert\to 0.$

$ \vert\hspace{-5pt}\Rightarrow$ Пусть $ A$ -- не ограничен. Тогда $ \exists \{x_n\}: \vert\vert Ax_n\vert\vert>n\vert\vert x_n\vert\vert$. Обозначим $ \xi_n=\frac{x_n}{n\vert\vert x_n\vert\vert}$. Тогда $ \mbox{$\xi_n\to\theta$}$, поскольку $ \vert\vert\xi_n\vert\vert\to 0$. Но

$\displaystyle \vert\vert A\xi_n\vert\vert=\frac1{n\vert\vert x_n\vert\vert}\vert\vert Ax_n\vert\vert>1$

по предположению, так что $ A\xi_n\not\to A\theta=\theta$. Это противоречит непрерывности. $ \blacksquare$

Определение 5.   Нормой линейного ограниченного оператора называется наименьшая из констант в условии ограниченности. $ \vert\vert A\vert\vert=\inf_{M>0} M:  \vert\vert Ax\vert\vert _Y\leqslant M\vert\vert x\vert\vert _X\quad\forall  x\in
X$.

Замечание 1.   Заметим, что определение нормы говорит о том, что $ \vert\vert Ax\vert\vert _Y\leqslant
\vert\vert A\vert\vert\cdot\vert\vert x\vert\vert _{X}$ и

$\displaystyle \forall  \varepsilon>0 \exists 
x_\varepsilon\in X: 
\vert\...
...t _Y>(\vert\vert A\vert\vert-\varepsilon)\vert\vert x_\varepsilon\vert\vert _X.$

Теорема 2.   $ \vert\vert A\vert\vert=\sup_{\vert\vert x\vert\vert\leqslant 1}\vert\vert Ax\vert\vert$.

Доказательство. Пусть $ x\in X:  \vert\vert x\vert\vert\leqslant 1$. Тогда

$\displaystyle \vert\vert Ax\vert\vert\leqslant \vert\vert A\vert\vert\cdot\vert...
...t\leq \vert\vert A\vert\vert\quad\forall x,
\vert\vert x\vert\vert\leqslant 1,$

т.е. $ \sup_{\vert\vert x\vert\vert\leqslant 1}\vert\vert Ax\vert\vert\leqslant
\vert\vert A\vert\vert$. Теперь

$\displaystyle \forall  \varepsilon>0 \exists 
x_\varepsilon\in X: 
\vert\...
...t _Y>(\vert\vert A\vert\vert-\varepsilon)\vert\vert x_\varepsilon\vert\vert _X.$

Пусть $ \xi_\varepsilon=\frac{x_\varepsilon}{\vert\vert x_\varepsilon\vert\vert}$ -- так что $ \vert\vert\xi_\varepsilon\vert\vert=1$. Тогда

$\displaystyle \vert\vert A\xi_\varepsilon\vert\vert=\frac1{\vert\vert x_\vareps...
...rt\vert}(\vert\vert A\vert\vert-\varepsilon)\vert\vert x_\varepsilon\vert\vert.$

Сокращая и переходя к точной верхней границе слева и справа, получим

$\displaystyle \sup_{\vert\vert x\vert\vert\leqslant 1}\vert\vert Ax\vert\vert\geq
\vert\vert A\xi_\varepsilon\vert\vert>\vert\vert A\vert\vert-\varepsilon.$

Устремляя $ \varepsilon$ к нулю, получим $ \sup_{\vert\vert x\vert\vert\leqslant 1}Ax\geqslant \vert\vert A\vert\vert$. Тогда возможно только равенство. $ \blacksquare$

Обозначим $ L(X,Y)$ -- множество всех линейных непрерывных операторов $ X\to Y$. Введем сложение и умножение поточечно: $ (A+B)x=Ax+Bx, (\lambda A)x=\lambda Ax$. Введем норму следующим образом: $ \mbox{$\vert\vert A\vert\vert=\sup_{\vert\vert x\vert\vert\leqslant 1}\vert\vert Ax\vert\vert$}$. Можно проверить, что аксиомы нормы выполнены. Введем с помощью нормы метрику $ \rho(A,B)=\vert\vert A-B\vert\vert$. Можно ввести также операцию умножения операторов $ (A\cdot B)x=A(Bx)$. Существует и тождественный оператор $ I:  Ix=x$.

Теорема 3.   $ Y$ -- полное линейное нормированное пространство (в нем каждая фундаментальная последовательность сходится). Тогда $ L(X,Y)$ -- полное линейное нормированное пространство.



На главную   ::   Содержание