На главную   ::   Содержание



Схема Бернулли и предельные теоремы для схемы Бернулли

Проводятся независимые испытания. Каждое испытание имеет 2 исхода: $ 1$ -- успех происходит с вероятностью $ p$, неудача -- 0 -- с вероятностью $ q=1-p$. Нас интересует вероятность того, что в серии из $ n$ испытаний произойдет $ k$ успехов. Имеется случайная величина $ \mu(n)$, которая принимает значения $ 0,1,\dots,n$ и характеризует количество успехов в серии из $ n$ испытаний. Тогда вероятность того, что $ \mu(n)=k$, благодаря независимости испытаний и учитывая количество способов размещения $ k$ единиц на $ n$ местах, записывается как $ P_n(k)=P(\mu(n)=k)=C_n^k p^k q^{n-k}$.

Замечание 1.   Далее используются результаты: $ E\mu(n)=np,
D\mu(n)=npq$. Для получения используется представление $ \mu(n)$ в виде суммы индикаторов того, что на $ i$ шаге произошел успех. Матожидание такого индикатора равно $ p$, они независимы, поэтому $ E\mu(n)=E(\sum I_k)=\sum EI_k=\sum p=np, D\mu(n)=D(\sum I_k)=\sum
DI_k=\sum (EI_k^2-(EI_k)^2)=n(p-p^2)=npq$.

Замечание 2.   Далее будут использоваться следующие результаты. Неравенство Маркова:

$\displaystyle P(\vert\xi\vert\geq\varepsilon)\leq
\frac{E\vert\xi\vert^k}{\varepsilon^k}$

-- если $ E\vert\xi\vert^k<\infty$. (Доказательство через индикаторы выглядит так: $ \vert\xi\vert\geqslant
\vert\xi\vert I_{\vert\xi\vert>\varepsilon}\geqslant\varepsilon
I_{\vert\xi\vert>\varepsilon}$, откуда взятие матожидания от левой и правой частей дает требуемое равенство.) Заменяя $ \xi$ на $ \xi-E\xi$ и при $ k=2$ получим неравенство Чебышева:

$\displaystyle P(\vert\xi-E\xi\vert\geqslant\varepsilon)\leqslant\frac{D\xi}{\varepsilon^2}.$

Ясно, что доля числа успехов при увеличении длины серии испытаний, приближается к $ p$. Более строгий результат выглядит так:

Теорема 1. (Закон больших чисел в форме Бернулли)  

$\displaystyle \forall \varepsilon>0\quad\lim_{n\to\infty}P\left(\biggl\vert\frac{\mu(n)}{n}-p\biggr\vert\geqslant
\varepsilon\right)=0.$

Доказательство. $ E\frac{\mu(n)}{n}=p$, $ D\frac{\mu(n)}{n}=\frac{pq}{n}$, поэтому, применяя неравенство Чебышева, получим:

$\displaystyle P(\vert\frac{\mu(n)}{n}-p\vert\geqslant\varepsilon)\leqslant
\frac{pq}{\varepsilon^2n}\to 0.$

$ \blacksquare$

Зададимся вопросом об асимптотическом поведении $ P_n(k)$.

Теорема 2. (Пуассона)   Пусть $ p_n$ -- вероятность успеха в серии из $ n$ испытаний и при $ n\to \infty$ $ np_n=\lambda$ -- остается постоянным. Тогда $ P_n(k)\to e^{-\lambda}\frac{\lambda^k}{k!}$

Доказательство. Очевидно, $ p_n=\frac{\lambda}{n}$. Тогда

$\displaystyle P_n(k)=C_n^k p_n^k
(1-p_n)^{n-k}=\frac{n!\lambda^k(1-\frac{\lamb...
...dots(n-k+1)}{n\dots
n}\frac{(1-\frac{\lambda}{n})^n}{(1-\frac{\lambda}{n})^k}.$

В пределе получим требуемое, обращая внимание на последнюю дробь: числитель стремится к экспоненте, знаменатель к единице. $ \blacksquare$

Теперь введем новую случайную величину, стандартизируя $ \mu(n)$: $ s(n)=\frac{\mu(n)-np}{\sqrt{npq}}$.

Теорема 3. (Локальная теорема Лапласа)  

$\displaystyle \sup_{\{k:\vert k-np\vert\leq o(n^{2/3})\}} \left\vert P_n(k)-\frac1{\sqrt{2\pi
npq}}e^{-\frac{(k-np)^2}{2npq}}\right\vert\to 0.$

Замечание 3.   Функция Лапласа -- $ \Phi(x)=\frac1{\sqrt{2\pi}}\int\limits_0^x
e^{-\frac{y^2}{2}} dy$.

Теорема 4. (Интегральная теорема Муавра--Лапласа)  

$\displaystyle \sup_{-\infty<a<b<\infty}\vert P(a<s(n)<b)-(\Phi(b)-\Phi(a))\vert\to 0,$    при $\displaystyle n\to\infty.$

Замечание 4.   Можно заметить, что $ P(\mu(n)\leqslant x)=P\left(\frac{\mu(n)-np}{\sqrt{npq}}\leqslant
\frac{x-np}{\sqrt{npq}}\right)\approx\Phi\left(\frac{x-np}{\sqrt{npq}}\right)+\frac1{2}$ -- простая формула для подсчета значений, в то время как подсчет через ряды вычислительно затратен.

Следующая теорема определяет скорость сходимости в интегральной теореме Муавра--Лапласа и говорит о том, что эта скорость сходимости не улучшаема по порядку.

Теорема 5. (Берри--Эссеена)  

$\displaystyle \sup_{-\infty\leqslant x\leqslant\infty}\left\vert P(\mu(n)\leqslant
x)-\Phi(x)-\frac1{2}\right\vert\leqslant\frac1{\sqrt{npq}}.$



На главную   ::   Содержание