На главную   ::   Содержание



Закон больших чисел

Замечание 1.   $ \mu(n)$ -- случайная величина, вероятность успеха в схеме Бернулли длины $ n$. Далее используются результаты: $ E\mu(n)=np,
D\mu(n)=npq$. Доказательство в билете о предельных теоремах в схеме Бернулли.

Замечание 2.   Далее будут использоваться следующие результаты. Неравенство Маркова:

$\displaystyle P(\vert\xi\vert\geq\varepsilon)\leq
\frac{E\vert\xi\vert^k}{\varepsilon^k}$

-- если $ E\vert\xi\vert^k<\infty$. (Доказательство через индикаторы выглядит так: $ \vert\xi\vert\geqslant
\vert\xi\vert I_{\vert\xi\vert>\varepsilon}\geqslant\varepsilon
I_{\vert\xi\vert>\varepsilon}$, откуда взятие матожидания от левой и правой частей дает требуемое равенство.) Заменяя $ \xi$ на $ \xi-E\xi$ и при $ k=2$ получим неравенство Чебышева:

$\displaystyle P(\vert\xi-E\xi\vert\geqslant\varepsilon)\leqslant\frac{D\xi}{\varepsilon^2}$

Теорема 1. (Закон больших чисел в форме Бернулли)  

$\displaystyle \forall \varepsilon>0\quad\lim_{n\to\infty}P\left(\biggl\vert\frac{\mu(n)}{n}-p\biggr\vert\geqslant
\varepsilon\right)=0.$

Доказательство. $ E\frac{\mu(n)}{n}=p,
D\frac{\mu(n)}{n}=\frac{pq}{n}$, поэтому применим неравенство Чебышева: $ P(\vert\frac{\mu(n)}{n}-p\vert\geqslant\varepsilon)\leqslant
\frac{pq}{\varepsilon^2n}\to 0$. $ \blacksquare$

Теорема 2. (Закон больших чисел в форме Чебышева)  
$ \xi_1,\dots,\xi_n$ -- последовательность попарно независимых с.в. с конечной дисперсией $ D\xi_i\leqslant c$. Тогда

$\displaystyle \forall \varepsilon>0\quad
\lim_{n\to\infty}P\left(\left\vert\f...
...rac{E(\sum\limits_{i=1}^n \xi_i)}{n}\right\vert\geqslant
\varepsilon\right)=0.$

Доказательство. Используем неравенство Чебышева и преобразуем дисперсию с учетом независимости:

$\displaystyle \lim_{n\to\infty}P\left(\left\vert\frac{\sum\limits_{i=1}^n
\xi_...
...arepsilon^2}\sum\limits_{i=1}^n
D\xi_i\leqslant \frac{c}{n\varepsilon^2}\to 0.$

$ \blacksquare$



На главную   ::   Содержание