На главную   ::   Содержание



Метод Лагранжа приведения квадратичной формы к каноническому виду

Определение 1.   Пусть $ A$ -- симметрическая матрица. Квадратичной формой называется конструкция следующего вида: $ Q(X)=X^TAX$.

В алгебре доказывается следующая теорема:

Теорема 1.   Всякая квадратичная форма ортогональным преобразованием приводится к диагональному виду, причем по главной диагонали будут стоять собственные числа матрицы квадратичной формы. $ Q(X)=\lambda_1
\overline x_1^2+\dots+\lambda_r \overline x_r^2$, где $ r=\rank (Q)=\rank (A)$ -- ранг квадратичной формы, порожденной матрицей $ A$.

Замечание 1.   Ортогональным называется преобразование вида $ C^{-1}AC$, где $ C$-- матрица, состоящая из координат ортонормированного базиса (базиса, вектора которого ортогональны и имеют длины 1).

Метод Лагранжа: $ Q(X)=X^TAX=\sum\limits_{k=1}^n
a_{kk}x_k^2+2\sum\limits_{i<j}a_{ij}x_ix_j=a_{11}x_1^2+2a_{12}x_1x_2+\dots+2a_{1n}x_1x_n+q(x_2,\dots,x_n)\textcircled =$

Возможны случаи:

  1. Без ограничения общности $ a_{11}\neq 0$. Тогда

    $ \textcircled =\frac1{a_{11}}(a_{11}
x_1+\dots+a_{1n}x_n)^2+r(x_2,\dots,x_n)$.

    \begin{displaymath}
\begin{cases}
y_1=a_{11}x_1+\dots+a_{1n}x_n\\
y_2=x_2\\
\dots\\
y_n=x_n
\end{cases}
\end{displaymath}

    Это преобразование невырожденное, т. к. $ a_{11}\neq 0$. Тогда форма в новых координатах примет вид: $ \frac1{a_{11}}y_1^2+r(y_2,\dots,y_n)$. Далее поступаем аналогично с остатком $ r$.
  2. Все $ a_{ii}=0 \; i=\overline{1,n}$. Без ограничения общности, существует $ a_{12}\neq 0$. Выполним преобразование:

    \begin{displaymath}
\begin{cases}
x_1=y_1+y_2\\
x_2=y_1-y_2\\
x_3=y_3\\
\dots\\
x_n=y_n
\end{cases}
\end{displaymath}

    Преобразование, очевидно, невырожденное. Тогда после преобразования форма имеет вид:

    $\displaystyle a_{12}(y_1^2-y_2^2)+\ldots,$

    и над ней нужно произвести действия пункта $ 1$.


На главную   ::   Содержание