На главную   ::   Содержание



Приближение функций по методу наименьших квадратов

Пусть имеется таблично заданная функция $ (y_i,x_i),i=1,\dots,n$, считаем $ y_i=f(x_i)$. Необходимо построить функцию $ g(x,a_0,\dots,a_m)$ и найти значения параметров $ a_0,\dots,a_m$ так, чтобы построенная функция была близка к исходной функции. Сравнение может производиться только в узлах $ x_i$. Если происходит совпадение в узлах, то это -- задача интерполяции. Обозначим

$\displaystyle \varepsilon_i=g(x_i,a_0,\dots,a_m)-y_i.$

Будем искать параметры из условия $ \Phi(a_0,\dots,a_m)=\sum\varepsilon_i^2\to\min$. По необходимому условию экстремума $ \Phi'_{a_i}=0$. В общем случае это нелинейная система. Но пусть $ g(x,a_0,\dots,a_m)=\sum_{j=0}^m a_j
x^j$ -- многочлен степени $ m$. Тогда

$\displaystyle \Phi'_{a_k}=2\sum_{i=0}^m
(\sum_{j=0}^m a_j x_i^j-y_i)x_i^k.$

Записывая по всем $ k$, получим систему:

\begin{displaymath}
\begin{cases}
a_0(n+1)+(\sum x_i)a_1+\dots+(\sum x_i^m)a_m...
...{m+1})a_1+\dots+(\sum x_i^{2m})=\sum y_ix_i^m\\
\end{cases}
\end{displaymath}

Это -- система линейных уравнений для нахождения параметров функции $ g$. Заметим, что при $ m=n$ получается интерполяционный многочлен.



На главную   ::   Содержание