На главную   ::   Содержание



Аппроксимация и устойчивость явной разностной схемы для уравнения теплопроводности

Рассмотрим уравнение теплопроводности: $ u_t=a^2u_{xx}+f$, где $ x\in
[0,l]; t\in [0,T]$. Будем рассматривать также граничные условия: $ u(0,t)=\mu_1(t); u(l,t)=\mu_2(t)$ и начальные условия: $ u(x,0)=\varphi(x)$. Построим сетку $ (x_i, t_k)$ с шагом $ h,\tau$ соответственно. Будем строить решение для сеточной функции $ y_i^k=y(x_i,t_k)$. Заменим дифференциальное уравнение алгебраическими для этой функции, производную по $ t$ заменим разностной производной первого порядка, производную по $ x$ -- второго порядка. Рассматриваем только случай явной схемы.

Определение 1.   $ k$-м слоем называется совокупность узлов с фиксированным значением $ k$.

В терминах разностей получим систему уравнений вида

\begin{displaymath}
\begin{array}{l}
\displaystyle\frac{y_i^{k+1}-y_i^k}{\tau}...
..._k)\\
y_n^k=\mu_2(t^k)\\
y_i^0=\varphi(x_i).
\end{array}
\end{displaymath}

Аппроксимация.

Для оценки порядка аппроксимации производной по $ t$ будем рассматривать полученное решение $ u(x,t)$ в точке $ (x_i,t_k+\frac{\tau}{2})$, обозначим $ u_i^k=u(x_i,t_k); \hat
u_i^k=u(x_i,t_k+\frac{\tau}{2})$. Разложим в ряд Тейлора по второму аргументу. Получим

$\displaystyle u(x,t)=u(x,t+\frac{\tau}{2})-\frac{\partial
\hat u}{\partial t}\...
...c{\tau^2}{8}-\frac{\partial^3 \hat u}{\partial
t^3}\frac{\tau^3}{48}+o(\tau^3)$

или, подставляя точку $ (x_i, t_k)$,

$\displaystyle u_i^k=\hat u_i^k+O(\tau).$

Аналогично можно получить, что порядок ошибки аппроксимации для второй производной есть $ O(h^2)$. Для этого представим

$\displaystyle u_{i+1}^k=u_i^k+\frac{\partial u}{\partial
x}(x_i,t_k)h+\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}(x_i,t_k)
\frac{h^2}{2}+o(h^2); $

$\displaystyle u_{i-1}^k=u_i^k-\frac{\partial
u}{\partial x}(x_i,t_k)h+\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}(x_i,t_k)
\frac{h^2}{2}+o(h^2).$

Подставляя в формулу для второй производной через разности, видим, что сокращается $ u_i^k$ и все нечетные производные, поэтому остается только значение $ \frac{\partial^2
u}{\partial x^2}(x_i,t_k)$ и остаточный член порядка $ h^2$. Тогда итоговая формула дает погрешность $ O(\tau+h^2)$ в записи по двум аргументам сразу, или $ O(\tau)$ по аргументу $ t$ и $ O(h^2)$ по аргументу $ x$.

Устойчивость.

Устойчивость общей задачи можно получить, оценивая устойчивость трех задач: однородной задачи с нулевыми граничными условиями и ненулевыми начальными, однородной с нулевыми начальными и ненулевыми граничными, неоднородной с нулевыми граничными и начальными.

Для первого типа задач можно получить следующий результат: из записи системы уравнений выразим явно значение $ y$ на $ k+1$ слое:

$\displaystyle y_i^{k+1}=y_i^k\biggl(1-\frac{2a^2\tau}{h^2}\biggr)+y_{i+1}^k
\biggl(\frac{a^2\tau}{h^2}\biggr)+y_{i-1}^k\biggl(\frac{a^2\tau}{h^2}\biggr).$

Пусть $ 1-\frac{2a^2\tau}{h^2}\geqslant 0$. Тогда можно оценить правую часть равенства так:

$\displaystyle \vert y_i^{k+1}\vert\leqslant \max_i y_i^k
\biggl(1-\frac{2a^2\t...
...\leqslant
\vert y_i^k\vert\leqslant\dots\leqslant \vert\vert\varphi\vert\vert.$

Здесь $ \vert y_i^k\vert$ означает норму. Тогда получаем, что по начальным данным схема условно устойчива, причем условие устойчивости $ \tau\leqslant\frac{h^2}{2a^2}$.

Для второго типа задач производится замена:

$\displaystyle y_i^k=
v_i^k+\mu_1(t_k)+(\mu_2(t_k)-\mu_1(t_k))\frac{x_i}{l}.$

Тогда для новой функции $ v$ получим нулевые граничные условия $ v_0^k=v_n^k=0$ в силу условий на $ y$. Задача сведена к предыдущей, т.к. у задачи нулевые граничные условия и из $ y_i^0=0$ следуют ненулевые начальные условия:

$\displaystyle v_i^0=-\mu_1(0)-(\mu_2(0)-\mu_1(0))\frac{x_i}{l}$

Для задачи третьего типа можно получить следующие оценки: $ \max_k\vert\vert y^k\vert\vert\leqslant T\vert\vert f\vert\vert$, где $ T$ -- промежуток времени, на котором решается задача.



На главную   ::   Содержание