На главную   ::   Содержание



Процесс ортогонализации Грама--Шмидта в конечномерном евклидовом пространстве

Определение 1.   Линейное пространство конечной размерности над полем $ \mathbb{C}$ называется унитарным, если для любых двух элементов определена комплекснозначная функция (скалярное произведение), обозначающаяся $ (a,b)$, удовлетворяющая свойствам:
  1. (Коммутативность) $ (a,b)=\overline{(b,a)}$;
  2. $ (a+b,c)=(a,c)+(b,c)$;
  3. $ (\alpha a,c)=\alpha(a,c)$;
  4. $ (a,a)$ -- вещественное$ >0\quad \forall  a\neq \mathbf 0$.
Определение евклидова пространства отличается тем, что поле $ \mathbb{C}$ заменяется на $ \mathbb{R}$, а комплексное сопряжение в свойстве $ 1$ не требуется.

Теорема 1. (Грама--Шмидта)   в любом конечномерном унитарном (евклидовом) пространстве можно построить ортонормированный базис.

Доказательство. Докажем методом математической индукции.

$ 1)$ База индукции. $ n=1$. $ \exists  e\in V: \vert\vert e\vert\vert=1$. Это и есть ОНБ.

$ 2)$ Предположение. Пусть верно для $ \forall  k\leqslant n-1$.

$ 3)$ Доказательство индукции. Возьмем базис $ (a_1,\dots,a_n)\in V$. Рассмотрим его в $ (n-1)$-мерном пространстве $ B$. По предположению, там найдется ОНБ $ (e_1,\dots,e_{n-1}): 
(e_i,e_j)=\delta_{ij}, \vert\vert e_i\vert\vert=1$. Дополним этот базис до базиса $ V$: $ (e_1,\dots,e_{n-1},a_n)$ (без ограничения общности, последний вектор линейно не зависит от этого базиса). Сконструируем вектор

$\displaystyle e_n'=a_n+\alpha_1e_1+\dots+\alpha_{n-1}e_{n-1}. \eqno {(\ast)}$

Нужно, чтобы он был ортогонален всем векторам:

$\displaystyle (e_n',e_i)=0\quad i=
\overline{1,n-1},$

а это выполнено тогда и только тогда, когда (умножая обе части равенства $ (\ast)$ на $ e_i$ последовательно)

$\displaystyle (a_n,e_i)+\alpha_i=0\quad i=
\overline{1,n-1}.$

Отсюда, $ \alpha_i=-(a_n,e_i)$, $ i=
\overline{1,n-1}$. Теперь положим $ e_n=\frac{e_n'}{\vert\vert e_n'\vert\vert}$, построив тем самым ОНБ $ (e_1,\ldots,e_n)$ и доказав утрверждение теоремы. $ \blacksquare$



На главную   ::   Содержание