На главную   ::   Содержание



Теоремы Коши о значениях непрерывной функции на промежутке

Определение 1.   Функция $ f: X\to Y$ называется непрерывной в точке $ x_0\in X$, если

$\displaystyle \lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0),$

или, что то же,

$\displaystyle \forall   \varepsilon>0\; \exists \delta>0: 
\vert x-x_0\vert<\delta\Rightarrow \vert f(x)-f(x_0)\vert<\varepsilon.$

Определение 2.   Функция называется непрерывной на множестве $ X$, если она непрерывна в каждой его точке.

Замечание 1.   В следующей теореме используется принцип Кантора вложенных отрезков: для всякой системы вложенных отрезков (таких, что для каждой пары один содержится в другом) существует общая точка. А если отрезки стягиваются, то такая точка -- единственная.

Теорема 1. (Больцано--Коши)   если $ f$ непрерывна на $ [a,b]$ и на концах принимает значения разных знаков ( $ f(a)\cdot f(b)<0$), то существует точка $ c\in(a,b)$ такая, что $ f(c)=0$.

Доказательство. Для определенности пусть $ f(a)<0$, а $ f(b)>0$. Рассмотрим точку $ c_1$ как середину отрезка $ [a,b]$. Если $ f(c_1)=0$, то теорема доказана. Если это не так, будем рассматривать тот из двух получившихся отрезков, значения функции на концах которого разных знаков. Поступая аналогично, либо закончим процесс деления на некотором шаге, либо получим стягивающуюся систему вложенных отрезков $ [a_k,b_k]$. Тогда, согласно принципу Кантора, существует единственная общая точка $ c$. Покажем, что $ f(c)=0$. Заметим, что $ f(a_k)<0$, $ f(b_k)>0$, $ \lim a_k=c$, $ \lim
b_k=c$. Поскольку $ c\in [a,b]$, то функция непрерывна в этой точке, следовательно, $ \lim f(a_k)=f(c)\leqslant 0$ и $ \lim
f(b_k)=f(c)\geqslant 0$. Тогда $ f(c)=0$. $ \blacksquare$

Замечание 2.   Далее используется теорема Вейерштрасса: непрерывная на отрезке функция ограничена и достигает на нем своего наибольшего и наименьшего значения.

Теорема 2. (Коши)   Множество значений функции, заданной на отрезке и непрерывной на этом отрезке, есть отрезок.

Доказательство. По теореме Вейерштрасса, $ \exists 
m=\min_{[a,b]} f(x)$ и $ M=\max_{[a,b]} f(x)$. Мы знаем, что $ f(x)\in
[m,M]$. Осталось показать, что принимаются все значения из интервала $ (m,M)$. Будем считать $ m<M$. Мы можем найти такие $ x_1$ и $ x_2$, что $ f(x_1)=m$, а $ f(x_2)=M$. Для определенности $ x_1<x_2$. Рассмотрим $ f$ на отрезке $ [x_1,x_2]$. Функция на этом отрезке непрерывна. Для любого $ d\in (m,M)$ функция $ f-d$ на концах принимает значения разных знаков и является непрерывной, значит, по предыдущей теореме, найдется $ x_0\in(x_1,x_2):f(x_0)-d=0$, то есть $ f(x_0)=d$. В силу произвольности $ d$ получаем, что все значения из $ (m,M)$ принимаются функцией $ f$ и множество ее значений есть отрезок $ [m,M]$. $ \blacksquare$



На главную   ::   Содержание