На главную   ::   Содержание



Производная по направлению и градиент функции нескольких переменных

Рассматриваем случай трехмерного пространства $ \mathbb{R}^3$. Пусть $ l$ -- вектор. Будем считать, что $ \vert l\vert=1$. Его координаты представимы в виде направляющих косинусов $ (\cos\alpha,\cos\beta,\cos\gamma)$, где $ \alpha,\beta,\gamma$ -- углы между вектором $ l$ и соответствующими осями. Функция $ f(x,y,z)$ определена в окрестности точки $ M_0=(x_0,y_0,z_0)$. Из точки $ M_0$ проведем прямую с направляющим вектором $ l$. Выберем на этой прямой точку на расстоянии $ h>0$ от $ M_0$. Приращением функции $ f$ вдоль вектора $ l$ называется величина

$\displaystyle \Delta_lf=f(M_0+l\cdot h)-f(M_0)
$

где, $ h$ -- приращение аргумента вдоль оси $ l$. Если существует предел

$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial l}(M_0)=\lim_{h\to 0}\frac{\Delta_l
f}{h},$

то он называется производной функции по направлению $ l$ в точке $ M_0$. Это -- мгновенная скорость изменения функции по направлению $ l$.

Замечание 1.   Градиентом функции ($ \grad f$) будем называть вектор из частных производных функции. Частная производная -- это предел отношения приращения функции к приращению аргумента только по одной переменной.

Пусть $ M$ -- точка на построенной прямой, тогда

$\displaystyle f(M)=f(x_0+t\cos\alpha, y_0+t\cos\beta, z_0+t\cos\gamma).$

И в новой записи (производная сложной функции):

\begin{displaymath}
\begin{array}{l}
\displaystyle \frac{\partial f}{\partial...
...ace{300pt} =(\grad f, l)=\text{Пр}_{l}\grad f\\
\end{array}
\end{displaymath}

Пусть $ l=\frac{\grad f}{\vert\vert\grad f\vert\vert}$. Тогда $ \frac{\partial
f}{\partial l}=(\grad f,\frac{\grad f}{\vert\vert\grad f\vert\vert})=\vert\vert\grad f\vert\vert.$ Но, исходя из того, что производная по направлению -- проекции градиента на направление $ l$, получим $ \frac{\partial f}{\partial
l}\leqslant\vert\vert\grad f\vert\vert$. Значит, $ \frac{\partial f}{\partial l}$ -- наибольшая, если $ l$ совпадает с направлением градиента.

Определение 1.   Градиент -- вектор, направленный в сторону наибольшего возрастания функции и равный по величине мгновенной скорости возрастания функции.



На главную   ::   Содержание