На главную   ::   Содержание



Критерий и достаточное условие существования интеграла Римана

Рассмотрим функцию $ f:[a,b]\to \mathbb{R}$. Выберем произвольное разбиение отрезка $ T=\{x_0,\dots,x_n\}$, $ x_0=a<x_0<\dots<x_n=b$. Обозначим $ \Delta x_k=x_{k+1}-x_k$. Выберем произвольные точки $ \xi_k\in [x_k,x_{k+1}]$. Обозначим $ \xi=(\xi_0, \ldots, \xi_{n-1})$

Определение 1.   Интегральной суммой Римана называется $ \sigma(f,T,\xi)=\sum\limits_{k=0}^{n-1}f(\xi_k)\Delta x_k$.

Пусть $ \lambda=\max_k\Delta x_k$.

Определение 2.   Число $ I$ называется пределом $ \sigma$, если

$\displaystyle \forall \varepsilon>0\;\exists \delta>0: \lambda<\delta\Rightarrow\forall \xi\;\forall T\quad\vert\sigma-I\vert<\varepsilon.
$

Определение 3.   $ f$ -- интегрируема по Риману, если существует предел $ \lim_{\lambda\to 0}\sigma=\int\limits_a^b
f(x) dx$.

Теорема 1. (Необходимое условие интегрируемости)   $ f$ -- интегрируема по Риману $ \Rightarrow$ $ f$ -- ограничена.

Определение 4.   Пусть

$\displaystyle m_k=\inf_{x\in [x_k,x_{k+1}]}f(x),\quad M_k=\sup_{x\in
[x_k,x_{k+1}]}f(x).$

Обозначим

$\displaystyle s(T)=\sum_{k=0}^{n-1}m_k\Delta x_k, \quad S(T)=\sum_{k=0}^{n-1}M_k\Delta
x_k.
$

$ s(T)$ называется нижней суммой Дарбу, $ S(T)$ называется верхней суммой Дарбу.

Теорема 2. (Критерий интегрируемости по Риману)  
$ f$ интегрируема по Риману тогда и только тогда, когда

$\displaystyle \forall \varepsilon>0\;\exists \delta: \forall  T\quad
\lambda(T)<\delta\Rightarrow S-s<\varepsilon.$

Доказательство. $ \vert\hspace{-5pt}\Rightarrow$ $ f$ интегрируема по Риману, следовательно

$\displaystyle \exists  I:\;\forall\varepsilon>0 \exists  \delta:  \forall ...
...ne\xi \quad
\lambda(T)<\delta\Rightarrow\vert\sigma(T)-I\vert<\varepsilon/2,
$

или, что то же

$\displaystyle I-\varepsilon/2<\sigma(T)<I+\varepsilon/2.$

Но из того, что

$\displaystyle \sup_{\overline\xi}\sigma(T)=S(T),\quad
\inf_{\overline\xi}\sigma(T)=s(T).$

следует, что

$\displaystyle I-\varepsilon/2\leqslant s(T)\leqslant S(T)\leqslant I+\varepsilon/2.$

Тогда $ S-s<\varepsilon$ верно при $ \lambda(T)<\delta$.

$ \Leftarrow\hspace{-5pt}\vert$ По условию

$\displaystyle \forall \varepsilon \exists  \delta: \forall T\quad
\lambda(T)<\delta\Rightarrow S-s<\varepsilon.$

$ s\leqslant \sigma(T)\leqslant
S$. $ I_\ast=\sup s$ и $ I^\ast=\inf S$ -- зависят только от $ f$, следовательно, это фиксированные числа. $ s(T)\leq I_\ast\leq
I^\ast\leq S(T)$. Но $ 0\leqslant I_\ast-I^\ast<\varepsilon$ -- по условию. Но $ \varepsilon$ -- произвольно, следовательно $ I_\ast=I^\ast=I$. И, при этом, $ s\leq I\leq S$. Но тогда $ \vert\sigma(T)-I\vert\leq S-s<\varepsilon$, если $ \lambda(T)<\delta$. Тогда $ f$ -- интегрируема по Риману. $ \blacksquare$

Теорема 3.   Непрерывная на отрезке функция интегрируема по Риману.

Теорема 4.   Монотонная на отрезке функция интегрируема по Риману.



На главную   ::   Содержание